马斯克创新的成功秘诀是将严谨的科学思维应用于商业领域。跟踪根源，从科学思维中再次学习。

数学被称为自然科学的皇冠，是其他科学研究的主要工具。

毕达哥拉斯学派认为，自然是根据数学原理建立的，数的关系位于自然秩序后面，统一呈现自然秩序。

在数学发展史上，数字概念的所有扩展都标志着数学的巨大飞跃。

1.万物都列出来了

“万物皆数”是毕达哥拉斯学派流传千古的格言，但所谓的数字是指正整数。分数形式比整数复杂，但正整数到分数的扩展是很自然的。因为这两个人最基本的实践活动包含了分数的直观模型。

毕达哥拉斯学派在正整数的基础上建立了比例论。A、B的正公度，A是米度的M倍，B是米度的N倍，A 3360B是M 3360N。他们把两个正整数的比例m/n称为有理数，认为有这两类数字就能表示世界上所有的数量关系。

2.0

“0”的发现与十进制手法密切相关，完全的价值制应该是0，但历史上“0”作为数字出现比价值制出现要晚得多。约翰f肯尼迪，Northern Exposure，成功)罗马教皇拒绝承认零是数字，他声称神奇的数字是上帝创造的，但上帝创造的神圣罗马数字中没有“0”这个怪物。(阿尔伯特爱因斯坦，美国教皇)。

认为“0”是一个数字的思想和符号“0”的诞生是世界公认的伟大成就。由于零的发明，将人类的智慧从算盘的束缚中解放出来，用这个符号表示算盘的空白列后，就可以很容易地从石板、纸和羊皮上计算出来，人类历史上可能会出现简单的计算规则。用“0”表示，用十进制方法表示，我们只要再写九个符号，就可以表示任何大数字，不再像罗马人那样麻烦地把X，L，C，D，M等符号表示成10，50，100，500，

3.负数

对负数的认识是水系扩张的重大阶段。我国是世界上第一个知道负数的国家。在《九章算术》第8章中，破天荒在科学史上首次看到了量和音的区分，这是第一次超过正站。中国数学家在这一点上超过了其他国家几个世纪。负数在西方数学中出现得晚，欧洲直到1545年才知道负数，经常将其解释为负债的意思。

负数的加法和减法可以仿照债务关系，所以不难理解。但是负数的乘法和除法法则暂时找不到直观的现实模型，因此感到困惑。法国作家司汤达说：“一个人怎么能把10，000法郎的债务乘以500法郎的债务，从而获得500万法郎的收入？”困惑地说。当时流行的纯银：负、负、负、负、负、负、负、负、负、负，不用证明就记住了。当时很多数学家放心使用或不承认负数。帕斯卡认为0减去4纯属胡说八道。卡丹提出了方程的负根，但他认为这是不可能的解法，负根是虚构的。只是个标志。西方人怀着怀疑的心情看着负数，称之为“伪数”、“虚拟数”、“不可能数”等。

负数的概念直到17世纪才获得确定的地位，用直线上的点表示负数，这要归功于笛卡尔。这是现代数学构成“收缩”的方法，对负数作出的几何解释。(阿尔伯特爱因斯坦，Northern Exposure)正数和负数的差异与左右的差异一样自然，收缩的每一个负数都可以看作该正数的“镜像”，因此负数和正数应该被同等对待。

如果沿着几何中呈现的负性质继续探索，可以将-1乘1数看作是从收缩变化一次的操作。也可以不用几何，直接从代数运算法则中得出负正的结论。对于负乘法(-1)(-1)=1的规定，《古兰经》指出，这是我们试图维持分配法a(b c)=ab AC的结果。对于数学家来说，(-1)(-1)=1花了很长时间才认识到无法证明。它们是我们做的。为了在维持算术基本规律的条件下自由运算。算术的交换法、结合法和分配率不变。负数概念的引入原则上是一个非常困难的阶段。这是从具体数学到形式数学的转变。

4.无理数

毕达哥拉斯学派认为所有东西的长度都可以测量，但遗憾的是，这个假设不正确。以最简单的等腰直角三角形为例，如果直角边长度设置为1，则坡度长度的平方必须等于2。这种数字既不是整数，也不是分数，正方形的边缘和对角线并不难证明不可能公平。这无疑是一个伟大的发现，但对“万物皆数”的哲学信念是致命的打击。穆里苏在今天看来只是简单的推论，但在当时是无法想象的悖论。这个惊人的发现对古希腊数学产生了巨大的冲击，引发了数学史上所谓的“第一次数学危机”。

无理数量的发现引起了如何认识它的问题。关键是如何加、减、除这些数字？巴比伦人用近似值求解，但无论如何也找不到合理数字的平方正好是2。希腊数学家们不愿正视这一逻辑困难，使用近似这种不严谨的方法。为了正确处理无理数，他们坚信所有的数字都可以用几何方法表示和研究。直观的几何模型提供了整数加无理数相乘的有效准确方法，两无理数的乘积可以在矩形面积上合理解释。希腊人不仅用几何方法计算数字，还尽可能利用一系列几何方法求解了包含未知量的方程。

穆里苏的悖论使希腊数学从算术转向几何。首先，他们发现几何不能完全用整数及其比率来表示。相反，数字可以用几何表示。郑秀的荣誉受到挑战。他们认为几何是可靠的基础。只有几何中才能避免不合理数的问题。二、直觉和经验

5. 虚数

在求解二次方程时发现涉及到负数开平方根，笛卡尔把-1的平方根视为不可思议的，并造出“虚数”这个名称。

莱布尼兹对此说过：上帝的精神找到了一个超凡的宣泄口，这个奇观是理想世界的怪物，是介于存在和不存在之间的两栖物，这就是我们称为-1的虚根的东西。

欧拉也说：负数的平方根既不是零，也不是比零小或比零大的数。显然负数的平方根不能被划归为任何可能的数（实数），因此我们必须说它们是不可能的数。它们在本质上是不可能的，并且通常被称为虚数或幻想中的数，因为它们仅存在于想象中。

柯西也不同意把虚数当作数，他说：“每一个虚数方程仅仅是两个实数方程的符号表达式。”

高斯也曾在一封信中说道：“-1的平方根的真正意义始终在我的脑海中显现，但是却很难用言辞把它表达出来。”

在西方的数学传统中对于任何一种数，总是要以几何量的形态出现才会令人安心，无理数、负数都是如此，而在几何学思想一统天下的时代，如果虚数无法与几何量攀上点“亲戚关系”，那么它在数学中就没有立足之地。

1797年挪威测量员韦塞尔提出了把复数与平面上的向量联系起来的想法，从几何上看，一个有向线段乘以-1的平方根，结果只不过是使该线段沿逆时针方向旋转90度罢了。

1806年法国会计师阿尔冈利用旋转解释了复数单位的几何意义，引入“模”的概念以表示向量a+bi的长度，使得复数的几何意义更加清晰和简洁。

1831年高斯详尽而系统地表述了平面笛卡尔几何与复数域的等价性，揭示了复平面与复数集的一一对应关系。他首创“复数”一词，并沿用了欧拉以i表示虚数单位的做法。有了复数系之后，关于方程的根的问题就此得到完全解决，复数的几何表示彻底消除了虚数在人们心中的神秘性，确立了它在数学中的稳固地位。他认为复数不仅可以看作平面上的点，也可以看成一种平面向量，这种向量与复数之间也是一一对应的。正是高斯显赫的名声和无上的权威，平息了有关虚数的种种非议！

高斯认为，复数讨论中的种种混乱，主要是因为所用术语的不当而造成的。如果+1、-1、-1的平方根不叫正一、负一、虚数单位，而叫做正向单位、反向单位、侧向单位，这种暧昧和困难就可以得到极大地澄清。“虚数”这一源于人类理性和想象之间的神秘之物，经过数学家们几个世纪的上下求索，终于扫清了曾经笼罩其上的重重迷雾。

6. 四元数、矩阵、现代抽象代数

复数的引进，不仅拓展了数学研究领域，而且开阔了人类视野，增强了数学家进一步探索的信心和勇气。1843年，哈密尔顿提出四元数即超复数：q=a+xi+yj+zk。四元数的引入又一次震动了数学界，它的确是一个有实际用途的代数，但并不具备复数运算的某些基本性质，例如其乘法不满足交换律。

哈密尔顿曾经研究过包含n个分量或n元数组的超复数，之后数学家们又引入了更奇怪的代数。凯莱引进了矩阵，它是方形数组，对它们也可以进行通常的代数运算，但如同在四元数中的情形一样，矩阵无法满足乘法的可交换性。四元数和矩阵只不过是许多性质越来越奇怪的代数的先驱。

四元数的诞生使代数学家认识到，通过适当地改变代数中的基本运算规则可以发展出新的代数，正如通过改变欧式几何的第五公设而发展出非欧几何那样，数学家可以通过减弱、放弃或替换普通代数中的不同定律和公理（如交换律、结合律等）来构造新的数系。四元数理论标志着现代抽象代数的开始。后来已经陆续出现了几百种代数学，如布尔代数、若尔当代数、李代数等。

7. 回顾数系的扩充史

人类对数系的扩充有两个最基本的理由：一个是为了满足实际应用的需要；另一个是对数学本身逻辑和理论上完美的追求。

就日常生活计算应用而言，只需要知道并能使用整数、分数和小数就足够了。

但数学家却与众不同，他们永不休止地探索，不断对数的概念进行深化与扩张。各种各样的数，名目多得使人眼光缭乱，诸如：自然数、奇数、偶数、素数、合数、乘方数、正数、负数、零、整数、分数（带分数、假分数、真分数）、小数（循环小数、无限不循环小数）、有理数、无理数、实数、虚数、复数、高斯复整数、代数数、超越数、序数、基数、超穷数等。

关于生产发展与数的概念扩张的关系，美国数学家戴维斯这样写道：文明开化的复杂性反映在其数的复杂性中。二千五百年前巴比伦人用最简单的整数来讨论绵羊的所有权，并用简单的算术来记录行星的运动。今天，数理经济学家应用矩阵代数来描述成百上千的企业之间的相互关联，物理学家应用希尔伯特空间（一种数的概念，高于正整数七个抽象水平）来预测量子现象。

回顾数系的扩充，其实质是不断引入新“理想元素”的过程，按照布尔巴基数学结构的思想，数实际上是集合中可以用来进行运算的元素，从运算的角度也可以把向量、矩阵、张量、变换以及群、环、域中的元视为某种“广义数”。数系扩张过程的主要线索如下图所示：

1867年汉克尔提出了数系扩张的“固本原则”，即：数概念的扩张是为了满足某种代数运算的需要；扩张的结果必须保持原有算律；扩张后的数集必有一个子集与原数集同构。根据“固本原则”，数学内容在每一次扩充之后，特殊条件下均可化归到扩充之前的情形。

8. 总结

零、负数、无理数、虚数在数学史上都曾经被视为是怪物、不可能、悖论、幻想中的数，之后在使用中发现其实际的作用和对应的现实意义，进而被认可接纳。

从这个过程可以看到，我们应该保持开放的心态，不要断然排斥拒绝，而应该大胆尝试去探索更多可能性。

另外，这些概念最终都找到了其对应的现实意义，并不是没有现实映射随意创造出来的，其实只是这些现实意义对应的名词术语而已，最终还是事实是检验真理的唯一标准。

概况来说整个过程也充分反映了科学思维的精髓：大胆假设、小心求证、事实检验。

注：文中案例相关信息来自于参考资料：《代数学思想史的文化解读》，细节部分如有错漏敬请谅解。