马斯克创新的成功秘诀是将严谨的科学思维应用于商业领域。

数学被称为是自然科学的皇冠，是其他科学研究的主要工具。

毕达哥拉斯学派认为自然是根据数学原理建立的，数的关系居于自然秩序背后，统一揭示自然秩序。

在数学发展史上，数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。

1. 万物皆数

“万物皆数”是毕达哥拉斯学派名传千古的格言，但其所谓的数是指正整数。分数形式上要比整数复杂一些，但由正整数到分数的扩张，却是极为自然的，因为分配与测量这两个人类最基本的实践活动中就蕴含着分数的直观模型。

毕达哥拉斯学派在正整数基础上建立了比例论：设A、B两个量可公度，A是公度的m倍，B是公度的n倍，那么A:B = m:n。他们把两个正整数之比m/n称为有理数，并认为有了这两类数就可以表示世间一切数量关系了。

2. 零

“零”的发现与十进制记数法有密切的关系，完整的位值制必须要有零，但历史上“零”作为一个数字出现要比位值制出现晚得多。罗马教皇曾拒绝承认零是一个数，他声称神奇的数是上帝创造的，而在上帝创造的神圣罗马数字中并没有“0”这个怪物。

将“零”作为一个数字的思想，以及符号“0”的诞生，是举世公认的伟大成就。由于零的发明，它把人类的智慧从算盘的禁锢中解放出来，用这个符号表示算盘上的空列之后，人们可以方便地在石板、纸张或羊皮上进行计算，人类历史上才有可能出现简单的计算规则。有了“0”，如果用十进制，我们只需要再用9个符号就可以表示任意大的数，再也用不着像罗马人那样繁琐笨拙地制造出诸如X、L、C、D、M等符号以作为10、50、100、500、1000等数目的代码。人类从“有”中抽象出1，可以看做是数学诞生的标志，之后又从“无”中抽象出0，无疑是数学思想史上一次巨大的飞跃。

3. 负数

对负数的认识是数系扩充的重大步骤。我国是世界上最早认识负数的国家。在《九章算术》第八章中，破天荒第一次在科学史上看到了正量与负量的区分，这是第一次越过了正数域的范围，中国数学家在这一点上超出了其他国家几世纪之久。负数在西方数学中出现较晚，欧洲到1545年才知道负数，而且往往把它理解为负债的意思。

负数的加减运算可用债务关系作模型，理解起来不算困难。但负数的乘除法则，却因一时找不到直观的现实模型而陷入困惑之中。法国作家司汤达曾困惑道：“一个人该怎么把10000法郎的债与500法郎的债乘在一起，以便得到五百万法郎的收入呢？”，当时流行的顺口溜是：负负得正，正负得负；无需证明，只管记住。在当时，许多数学家并没有心安理得地使用或者承认负数。帕斯卡认为从0中减去4，纯粹是胡说八道；卡丹给出了方程的负数根，但他认为是不可能的解，负根是虚构的，仅仅是一些记号而已。西方人带着怀疑的心情来看待负数，并称其为“伪数”、“假想数”、“不可能数”等等。

负数的概念直到17世纪才获得确定的地位，用有向直线上的点表示负数，这应归功于笛卡尔，这是现代数学用构造“数轴”的方法对负数所作的一个几何解释。正、负数之间的区别正好同左、右的区别一样自然，数轴上每一个负数可以看成是相应正数的“镜像”，所以负数与正数一样应该得到同等的对待。

沿着几何学所揭示的负数性质继续探索，我们可以把-1乘以一个数看成是使该数在数轴上的方向发生一次改变的操作。也可以不用几何学的方法，直接从代数运算的规律推导出负负得正这一结论，对于负数乘法(-1)(-1)=1的规定，柯朗指出：这是我们希望保持分配律a(b+c)=ab+ac的结果。对于数学家来说，经过了很长一段时间才认识到(-1)(-1)=1是不能加以证明的，它们是我们创造出来的，为的是在保持算术基本规律的条件下使运算能够自如，使得算术的交换律、结合律、分配律保持不变。负数概念的引入，在原则上是极为困难的一步。这是由具体数学向形式数学的一次转折。

4. 无理数

毕达哥拉斯学派认为每样东西的长度都是可度量的，遗憾的是这一假定并不正确，以最简单的等腰直角三角形为例，设直角边长度为1，则斜边长度的平方应该等于2，而不难证明像这样的数，既非整数也不是分数，即正方形的边和对角线是不可公度的。这无疑是一项伟大的发现，但对“万物皆数”的哲学信念却是致命的打击。无理数在今天看来只不过是一个简单的推论，但在当时却是一个难以想象的悖论。这一惊人的发现对古希腊数学产生了极大的冲击，引发了数学史上所谓的“第一次数学危机”。

无理数的发现，引出了怎样认识它的问题。关键是对这些数如何进行加减乘除？巴比伦人使用取近似值的办法加以解决，但无论如何也找不到一个有理数的平方精确地等于2。希腊数学家正视这个逻辑上的困难，不愿意使用近似值这种不严密的方法。为了精确地处理无理数，他们坚信所有的数都能用几何方法表示和研究，直观的几何模型提供了一个整数与一个无理数相加和相乘的有效而精确的方法，两个无理数之积也可以由矩形面积而得到合理的解释。希腊人不仅用几何方法进行数的运算，而且尽可能地利用一系列的几何作图法来求解含有未知量的方程。

无理数的悖论导致希腊数学由算术向几何的转向。首先，他们发现几何量不能完全由整数及其比来表示，反之，数却可以由几何量来表示，整数的尊崇地位受到挑战，他们认为几何才是可靠的基础，只有在几何中才可能避开无理数的问题。其次，直觉和经验不一定可信，而推理和证明才是揭示真理的可靠途径。由此，希腊人开始从公理出发进行演绎推理，产生了《几何原本》的公理体系，这是数学思想的一次巨大革命。

5. 虚数

在求解二次方程时发现涉及到负数开平方根，笛卡尔把-1的平方根视为不可思议的，并造出“虚数”这个名称。

莱布尼兹对此说过：上帝的精神找到了一个超凡的宣泄口，这个奇观是理想世界的怪物，是介于存在和不存在之间的两栖物，这就是我们称为-1的虚根的东西。

欧拉也说：负数的平方根既不是零，也不是比零小或比零大的数。显然负数的平方根不能被划归为任何可能的数（实数），因此我们必须说它们是不可能的数。它们在本质上是不可能的，并且通常被称为虚数或幻想中的数，因为它们仅存在于想象中。

柯西也不同意把虚数当作数，他说：“每一个虚数方程仅仅是两个实数方程的符号表达式。”

高斯也曾在一封信中说道：“-1的平方根的真正意义始终在我的脑海中显现，但是却很难用言辞把它表达出来。”

在西方的数学传统中对于任何一种数，总是要以几何量的形态出现才会令人安心，无理数、负数都是如此，而在几何学思想一统天下的时代，如果虚数无法与几何量攀上点“亲戚关系”，那么它在数学中就没有立足之地。

1797年挪威测量员韦塞尔提出了把复数与平面上的向量联系起来的想法，从几何上看，一个有向线段乘以-1的平方根，结果只不过是使该线段沿逆时针方向旋转90度罢了。

1806年法国会计师阿尔冈利用旋转解释了复数单位的几何意义，引入“模”的概念以表示向量a+bi的长度，使得复数的几何意义更加清晰和简洁。

1831年高斯详尽而系统地表述了平面笛卡尔几何与复数域的等价性，揭示了复平面与复数集的一一对应关系。他首创“复数”一词，并沿用了欧拉以i表示虚数单位的做法。有了复数系之后，关于方程的根的问题就此得到完全解决，复数的几何表示彻底消除了虚数在人们心中的神秘性，确立了它在数学中的稳固地位。他认为复数不仅可以看作平面上的点，也可以看成一种平面向量，这种向量与复数之间也是一一对应的。正是高斯显赫的名声和无上的权威，平息了有关虚数的种种非议！

高斯认为，复数讨论中的种种混乱，主要是因为所用术语的不当而造成的。如果+1、-1、-1的平方根不叫正一、负一、虚数单位，而叫做正向单位、反向单位、侧向单位，这种暧昧和困难就可以得到极大地澄清。“虚数”这一源于人类理性和想象之间的神秘之物，经过数学家们几个世纪的上下求索，终于扫清了曾经笼罩其上的重重迷雾。

6. 四元数、矩阵、现代抽象代数

复数的引进，不仅拓展了数学研究领域，而且开阔了人类视野，增强了数学家进一步探索的信心和勇气。1843年，哈密尔顿提出四元数即超复数：q=a+xi+yj+zk。四元数的引入又一次震动了数学界，它的确是一个有实际用途的代数，但并不具备复数运算的某些基本性质，例如其乘法不满足交换律。

哈密尔顿曾经研究过包含n个分量或n元数组的超复数，之后数学家们又引入了更奇怪的代数。凯莱引进了矩阵，它是方形数组，对它们也可以进行通常的代数运算，但如同在四元数中的情形一样，矩阵无法满足乘法的可交换性。四元数和矩阵只不过是许多性质越来越奇怪的代数的先驱。

四元数的诞生使代数学家认识到，通过适当地改变代数中的基本运算规则可以发展出新的代数，正如通过改变欧式几何的第五公设而发展出非欧几何那样，数学家可以通过减弱、放弃或替换普通代数中的不同定律和公理（如交换律、结合律等）来构造新的数系。四元数理论标志着现代抽象代数的开始。后来已经陆续出现了几百种代数学，如布尔代数、若尔当代数、李代数等。

7. 回顾数系的扩充史

人类对数系的扩充有两个最基本的理由：一个是为了满足实际应用的需要；另一个是对数学本身逻辑和理论上完美的追求。

就日常生活计算应用而言，只需要知道并能使用整数、分数和小数就足够了。

但数学家却与众不同，他们永不休止地探索，不断对数的概念进行深化与扩张。各种各样的数，名目多得使人眼光缭乱，诸如：自然数、奇数、偶数、素数、合数、乘方数、正数、负数、零、整数、分数（带分数、假分数、真分数）、小数（循环小数、无限不循环小数）、有理数、无理数、实数、虚数、复数、高斯复整数、代数数、超越数、序数、基数、超穷数等。

关于生产发展与数的概念扩张的关系，美国数学家戴维斯这样写道：文明开化的复杂性反映在其数的复杂性中。二千五百年前巴比伦人用最简单的整数来讨论绵羊的所有权，并用简单的算术来记录行星的运动。今天，数理经济学家应用矩阵代数来描述成百上千的企业之间的相互关联，物理学家应用希尔伯特空间（一种数的概念，高于正整数七个抽象水平）来预测量子现象。

回顾数系的扩充，其实质是不断引入新“理想元素”的过程，按照布尔巴基数学结构的思想，数实际上是集合中可以用来进行运算的元素，从运算的角度也可以把向量、矩阵、张量、变换以及群、环、域中的元视为某种“广义数”。数系扩张过程的主要线索如下图所示：

1867年汉克尔提出了数系扩张的“固本原则”，即：数概念的扩张是为了满足某种代数运算的需要；扩张的结果必须保持原有算律；扩张后的数集必有一个子集与原数集同构。根据“固本原则”，数学内容在每一次扩充之后，特殊条件下均可化归到扩充之前的情形。

8. 总结

零、负数、无理数、虚数在数学史上都曾经被视为是怪物、不可能、悖论、幻想中的数，之后在使用中发现其实际的作用和对应的现实意义，进而被认可接纳。

从这个过程可以看到，我们应该保持开放的心态，不要断然排斥拒绝，而应该大胆尝试去探索更多可能性。

另外，这些概念最终都找到了其对应的现实意义，并不是没有现实映射随意创造出来的，其实只是这些现实意义对应的名词术语而已，最终还是事实是检验真理的唯一标准。

概况来说整个过程也充分反映了科学思维的精髓：大胆假设、小心求证、事实检验。

注：文中案例相关信息来自于参考资料：《代数学思想史的文化解读》，细节部分如有错漏敬请谅解。